Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为MN（点M、N分别在边AC、BC上），给出以下判断：
①当MN∥AB时，CM=AM；
②当四边形CMDN为矩形时，AC=BC；
③当点D为AB的中点时，△CMN与△ABC相似；
④当△CMN与△ABC相似时，点D为AB的中点．
其中正确的是①③（把所有正确的结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析 ①根据平行线的性质得到∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，根据翻折变换的性质得到∠CMN=∠DMN，CM=DM，根据等腰扇形的判定和等量代换证明即可；
②根据矩形的性质得到CM=DM，折叠四边形CMDN是正方形，根据任意一个直角三角形都有一个内接正方形即可得到结论；
③如图2，连接CD，与EF交于点Q，根据直角三角形的性质得到CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，于是得到∠DCB=∠B，由轴对称的性质得到∠CQN=∠DQN=90°，推出∠DCB+∠CNM=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CNM=∠A，即可得到结论；
④由相似三角形的性质得到∠MND=∠CAB，∠MDN=∠MCN=90°，推出C，M，D，N四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACD=∠MND，等量代换得到∠ACD=∠A，根据等腰三角形的性质得到AD=CD，同理CD=BD，即可得到结论．

解答 解：①∵MN∥AB，
∴∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，
由翻折变换的性质可知，∠CMN=∠DMN，CM=DM，
∴∠CAB=∠MDA，
∴AM=DM，
∴CM=AM，故①正确；
②根据折叠的性质得到CM=DM，矩形CMDN是正方形，
又任意一个直角三角形都有一个内接正方形满足题意，
故②错误，
③当点D是AB的中点时，△CMN与△ABC相似，
理由如下：如图2，连接CD，与MN交于点Q，
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCB=∠B，
由轴对称的性质可知，∠CQN=∠DQN=90°，
∴∠DCB+∠CNM=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CNM=∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△CMN∽△CBA；故③正确；
④∵△CNM与△ABC相似，
∴∠MND=∠CAB，∠MDN=∠MCN=90°，
∴C，M，D，N四点共圆，
∴∠ACD=∠MND，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，同理CD=BD，
∴点D为AB的中点，
当△ABC∽△MNC时，
点D不是AB的中点，故④错误，
故答案为：①③．

点评 本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，掌握翻折变换是一种轴对称，翻折前后对应边和对应角相等，正确运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．