Question

2．如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，$\frac{A′B′}{AB}$=k．已知关于x，y的二元一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=2n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k•t的值等于（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 首先求出点A′的坐标为（k，kt），再根据关于x，y的二元一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=2n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是实数）无解，可得mn=3，且n≠$\frac{3}{2}$；然后根据以m，n为坐标（记为（m，n））的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，可得反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象只经过点A′或C′；最后判断出反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象经过C′点，则
A′点的坐标是（2，$\frac{3}{2}$），所以k•t=，据此解答即可．

解答 解：∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，$\frac{A′B′}{AB}$=k，顶点A的坐标为（1，t），
∴点A′的坐标为（k，kt），
∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，
∴矩形A′B′C′D′也关于点O成中心对称．
∵关于x，y的二元一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=2n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是实数）无解，
∴mn=3，且n≠$\frac{3}{2}$，
即n=$\frac{3}{m}$（m≠2），
∵以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，
∴反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象只经过点A′或C′，
∵矩形A′B′C′D′关于点O成中心对称，反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象关于点O成中心对称，
∴反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象经过C′点，
如果反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象不经过C′点，
则以m，n为坐标（记为（m，n））的所有的点中，如果有点落在矩形A′B′C′D′的边上，
则至少有两个点落在矩形A′B′C′D′的边上，
∴A′点的坐标是（2，$\frac{3}{2}$），
∴k•t=$\frac{3}{2}$．
故选：D．

点评 （1）此题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
（2）此题还考查了二元一次方程组的求解方法，以及坐标与图形的性质，要熟练掌握．