Question

6．如图，边长为2的正六边ABCDEF在直线l上按顺时针方向作无滑动的翻滚．
（1）当正六边形绕点F顺时针旋转60度时，A落在点A₁位置；
（2）当点A翻滚到点A₂的位置时，求点A所经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）A落在点A₁位置时，F旋转的角度就是正六边形的外角的度数；
（2）利用弧长公式求得从A到A₁经过的路径长和从A₁到A₂经过的路径长，二者的和就是所求．

解答 解：（1）正六边形的外角的度数是$\frac{360°}{6}$=60°，
则正六边形绕点F顺时针旋转60°时，A落在点A₁位置，
故答案是：60；
（2）∠BAF=180°-60°=120°，
连接BF，作AG⊥BF于点G，则∠BAG=60°，BF=2BG=2×2sin60°=2$\sqrt{3}$．
从A到A₁经过的路径长是$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π，
从A₁到A₂经过的路径长是$\frac{60π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
则A经过的路径长是$\frac{2}{3}$π+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π．

点评 本题考查了正多边形的计算以及弧长的计算公式，正确确定从A₁到A₂经过的路径长是关键．