Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y=-x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，直线l₂与l₁相交于点D（-1，n），与x轴相交于点B（-2，0）
（1）求直线l₁，l₂的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积；
（3）设点M是直线l₂的一点，且点M的横坐标为m，求△ADM的面积S与m之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值，进而可得出直线l₁的解析式，由点D在直线l₁上，可求出点D的坐标，根据点A、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线l₂的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据三角形的面积结合S_{四边形OCDB}=S_△ABD-S_△AOC，即可求出结论；
（3）分m≤-2、-2＜m＜-1和m≥-1三段，找出S关于m的函数关系式，此题得解．

解答 解：（1）∵直线l₁：y=-x+a与x轴交于点A（4，0），
∴0=-4+a，a=4，
∴直线l₁的解析式为y=-x+4．
当x=-1时，n=-1×（-1）+4=5，
∴点D的坐标为（-1，5）．
设直线l₂的解析式为y=kx+b，
将B（-2，0）、D（-1，5）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{-k+b=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析式为y=5x+10．
（2）当x=0时，y=-x+4=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
S_{四边形OCDB}=S_△ABD-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×[4-（-2）]×5-$\frac{1}{2}$×4×4=7．
（3）当x=m时，y=5x+10=5m+10，
∴点M的坐标为（m，5m+10）．
分三种情况考虑：

①当m≤-2时，如图1所示．
S=S_△ABD+S_△ABM=15+$\frac{1}{2}$×6×（-5m-10）=-15m-15；
②当-2＜m＜-1时，如图2所示．
S=S_△ABD-S_△ABM=15-$\frac{1}{2}$×6×（5m+10）=-15m-15；
③当m≥-1时，如图3所示．
S=S_△ABM-S_△ABD=$\frac{1}{2}$×6×（5m+10）-15=15m+15．
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-15m-15（m＜-1）}\\{15m+15（m≥-1）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；（2）根据三角形的面积结合S_{四边形OCDB}=S_△ABD-S_△AOC，求出四边形OCDB的面积；（3）分m≤-2、-2＜m＜-1和m≥-1三段，找出S关于m的函数关系式．