Question

9．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 接AF，由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，证出AB=FC，BF=CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF=∠CFE，AF=FE，证△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF=45°，即可得出答案．

解答 解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，
∵FC=2BF，
∴BF=1，FC=2，
∴AB=FC，
∵E是CD的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴BF=CE，
在△ABF和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=FC}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴∠BAF=∠CFE，AF=FE，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠CFE+∠AFB=90°，
∴∠AFE=180°-90°=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴cos∠AEF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．