Question

6．如图所示，在△ABC中，中线AD、BE交于G，△ABC面积为1，则△BDG的面积为$\frac{1}{6}$，若连接DE，则△CDE的面积为$\frac{1}{4}$，△ABG的面积为$\frac{1}{3}$，△DEG的面积为$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，根据相似三角形的性质得到S_△DEC：S_△ABC=S_△DEG：S_△AGB=1：4，根据重心的性质得到S_△ABC=3S_△AGB，计算得到答案

解答 解：∵AD、BE是△ABC的中线，
∴DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴S_△DEC：S_△ABC=S_△DEG：S_△AGB=1：4，
∵S_△ABC=1，
∴S_△DEC=$\frac{1}{4}$，
∵AD是BC边上的中线，
∴S_△ABC=2S_△ADC，
∵G是重心，
∴AG=2DG，
∴S_△AGB=2S_△GEA，
∴S_△ABC=3S_△AGB，
∴S_△ABG=$\frac{1}{3}$，
∴S_△ABC：S_△DEG=12：1，
∴S_△DEG=$\frac{1}{12}$，
∴S_△AEG=S_△DBG=$\frac{1}{6}$．
故答案为$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了三角形的面积，还考查了三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．