Question

8．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，⊙O的半径是r，△PCD周长为4r，则tan∠APB=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 连接BO并延长交PA的延长线于F，连接OA，根据切线长定理得到PA=PB=2r，根据相似三角形的性质得到FB=2FA，根据勾股定理求出FB=$\frac{8}{3}$r，根据正切的概念计算得到答案．

解答 解：连接BO并延长交PA的延长线于F，连接OA，
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，
∴PA=PB，CE=CA，DE=DB，
∴PA+PB=PC+PD+CD=4r，
∴PA=PB=2r，
∵PA，PB切⊙O于A、B，
∴∠FAO=∠FBP=90°，又∠AFO=∠BFP，
∴△FAO∽△FBP，
∴$\frac{FA}{FB}$=$\frac{OA}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∴FB=2FA，
∴FA²+r²=（2FA-r）²，
解得，FA=$\frac{4}{3}$r，则FB=$\frac{8}{3}$r，
∴tan∠APB=$\frac{FB}{PB}$=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查的是切线长定理、锐角三角函数的概念、相似三角形的判定和性质，掌握从圆外一点作圆的切线，它们的切线长相等是解题的关键．