Question

3．如图，抛物线y=-x²+2x+3分别与x轴正半轴、y轴交于点A，B．点P在线段AB上运动（不与点A，B重合），过点P作P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ的最大值．

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴的交点问题得到A（3，0），再利用y轴上点的坐标特征得到B（0，3），则可利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=-x+3，根据二次函数和一次函数图象上点的坐标特征可设P（t，-t+3），Q（t，-t²+2t+3），所以PQ=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t，然后利用二次函数的求解．

解答 解：当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（3，0），
当x=0时，y=-x²+2x+3=3，则B（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-x+3，
设P（t，-t+3），
而PQ∥y轴，则Q（t，-t²+2t+3），
所以PQ=-t²+2t+3-（-t+3）
=-t²+3t，
当t=-$\frac{3}{2×（-1）}$=$\frac{3}{2}$时，PQ最大，最大值=$\frac{0-{3}^{2}}{4×（-1）}$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征．