Question

试求方程x²-2x-4|x-1|+4=0的四个根之和；当1＜b＜5时，再求方程x²-2x-4|x-1|+b=0的四个根之和．

Answer 1

分析：将方程x²-2x-4|x-1|+4=0化为（x-1）²-4|x-1|+3=0，设函数f（x）=（x-1）²-4|x-1|+3，根据函数的对称轴为x=1，可得出四根之和，同理将x²-2x-4|x-1|+b=0作同样的变换也可得出四根之和．

解答：解：原方程可化为：（x²-2x+1）-4|x-1|+3=0，（x-1）²-4|x-1|+3=0，
设方程的四个实数根从小到大依次为x₁、x₂、x₃、x₄，
设函数f（x）=（x-1）²-4|x-1|+3，
∴函数关于x=1对称，
∴

x1+x4

2

=

x2+x3

2

=1，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=4，
同理，方程x²-2x-4|x-1|+b=0可化为：（x-1）²-4|x-1|+b-1=0，
∵函数g（x）=（x-1）²-4|x|+b-1的图象关于x=1对称，
∴方程x²-2x-4|x-1|+b=0的四个根之和也为4．

点评：本题考查了含绝对值的一元二次方程，将原方程进行转化，利用函数在思想进行根的求和是解答本题的关键，通过本题，同学们要熟悉并掌握函数思想．