Question

（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-

3

4

x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数y=

1

8

x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

Answer 1

分析：（1）根据一次函数解析式求出点A、点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．
（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5-t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；
②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置．

解答：解：（1）由y=-

3

4

x+3，
令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；
令y=0，得x=4，所以点C（4，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴B点坐标为（-4，0），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3），
将点B（-4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=

1

8

x²+bx+c，可得

2-4b+c=0 8+8b+c=3

，
解得：

b=- 1 4 c=-3

，
故该二次函数解析式为：y=

1

8

x²-

1

4

x-3．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
∵PQ⊥AC，
∴△APQ∽△CAO，
∴

AP

AC

=

AQ

CO

，即

t

5

=

5-t

4

，
解得：t=

25

9

．
即当点P运动到距离A点

25

9

个单位长度处，有PQ⊥AC．
②∵S_{四边形PDCQ}+S_△APQ=S_△ACD，且S_△ACD=

1

2

×8×3=12，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，
当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：

h

3

=

5-t

5

，
解得：h=

3

5

（5-t），
∴S_△APQ=

1

2

t×

3

5

（5-t）=

3

10

（-t²+5t）=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∴当t=

5

2

时，S_△APQ达到最大值

15

8

，此时S_{四边形PDCQ}=12-

15

8

=

81

8

，
故当点P运动到距离点A

5

2

个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为

81

8

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大．