Question

△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b的代数式表示为

 

．

Answer 1

考点：三角形的重心,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：根据中线的性质得出BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

，根据E，D为中点，故DE为中线=

1

2

AB=

c

2

，进而利用勾股定理求出各线段之间的关系求出即可．

解答：解：∵AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，
于是，中线BE、AD，E和D是AC，BC上的中点
由题可知，
∴∠BOA=90°，BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

，
∵E，D为中点，故DE为中线=

1

2

AB=

c

2

，
∴①BO²+DO²=（

a

2

）²，
②AO²+EO²=（

b

2

）²，
③DO²+EO²=（

c

2

）²，
④BO²+AO²=c²，
∴①+②=③+④，
∴5c²=a²+b²．
故答案为：5c²=a²+b²．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及重心的性质，根据已知得出各边之间的关系进而求出是解题关键．