Question

18．观察下列等式：
1¹=1；
1²-2²=-3；
1²-2²+3²=6
1²-2²+3²-4²=-10；
…
照此规律，第n个等式可为1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 首先将1²-2²利用平方差公式展开，依次对各式中的-2²+3²、3²-4²等利用平方差公式展开，发现结果是前n个数的和，只有符号有所变化，因此找到规律，将结果1、-3、6、-10，猜想、验算，得出第n个式子的结果．本题也可以将n分为奇数和偶数讨论完成．

解答 解：第1个等式：1²=1，
第2个等式：1²-2²=（1+2）（1-2）=-（1+2）=-3，
第3个等式：1²-2²+3²=1+（3+2）（3-2）=1+2+3=6，
第4个等式：1²-2²+3²-4²=（1+2）（1-2）+（3-4）（3+4）=-1-2-3-4=-（1+2+3+4）=-10，
…
第n个等式：1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹（1+2+3+…+n）=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n（n+1）}{2}$，
故答案为：1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查规律型中的数字变化问题，找等式规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的关系．