Question

如图，抛物线y=-

1

3

x2+2x与x轴相交于点B、O，点A是抛物线的顶点，连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上的一点，点Q抛物线是上的一点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t．
①当0＜S≤18时，t的取值范围是

 

；
②在①的条件下，当t取得最大值时，请你写出使△OPQ为直角三角形且OP为直角边的Q点的坐标：

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：①根据A、B的坐标，易求得直线AB的解析式，进而可确定直线l的解析式，即可表示出P点的坐标；由于P点的位置不确定，因此本题要分成两种情况考虑：
（i）P点位于第四象限，此时t＞0，四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围；
（ii）P点位于第二象限，此时t＜0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照①的方法求出t的取值范围；
结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围；
②根据①的结论，可求出t的最大值，由此可得到P点的坐标；若△OPQ为直角三角形且OP为直角边，那么有两种情况需要考虑：∠QOP=90°和∠OPQ=90°；可分别过Q、O作直线l的垂线m、n，由于互相垂直的两直线斜率的乘积为-1，根据直线l的解析式以及Q、O的坐标，即可求出直线m、n的解析式，联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．

解答：解：①∵抛物线y=-

1

3

x2+2x与x轴相交于点B、O，点A是抛物线的顶点，
∴点B坐标为（6，0）．
∴顶点A坐标为（3，3）．
设直线AB解析式为y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴

6k+b=0 3k+b=3

，
解得

k=-1 b=6

，
∴y=-x+6．
∵直线l∥AB且过点O，
∴直线l解析式为y=-x．
∵点P是l上一动点且横坐标为t，
∴点P坐标为（t，-t）．
当P在第四象限时（t＞0），
S=S_△AOB+S_△OBP
=

1

2

×6×3+

1

2

×6×|-t|
=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴-3＜t≤3．
又∵t＞0，
∴0＜t≤3．
当P在第二象限时（t＜0），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N，
则S=S_梯形ANMP+S_△ANB-S_△PMO
=

1

2

（t-3）²+

9

2

-

1

2

t²，
=-3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18，
∴-3≤t＜3；
又∵t＜0，
∴-3≤t＜0；
∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3．
故答案为：-3≤t＜0或0＜t≤3（-3≤t≤3）；
②存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）．
由（2）知t的最大值为3，则P（3，-3）；
过O、P作直线m、n垂直于直线l；
∵直线l的解析式为y=-x，
∴直线m的解析式为y=x；
可设直线n的解析式为y=x+h，则有：
3+h=-3，h=-6；
∴直线n：y=x-6；
联立直线m与抛物线的解析式有：

y=x y=- 1 3 x2+2x

，
解得

x=0 y=0

或

x=3 y=3

；
∴Q₁（3，3）；
同理可联立直线n与抛物线的解析式，求得Q₂（6，0），Q₃（-3，-9）．
故答案为：（3，3）或（6，0）或（-3，-9）．

点评：本题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．