Question

如图3－218(1)所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．

　  (1)求证阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的；

(2)如图3－218(2)所示，若∠DOE保持120°角度不变，求证当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的．

Answer 1

(1)证明：连接OA，OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，S_{四边形OFCG}＝2S_△OFC＝S_△OAC．∵S_△OAC＝S_△ABC，∴S_{四边形OFCG}＝S_△ABC． (2)证法1：如图3－223(1)所示，连接OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2．不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，∠AOC＝∠3＋∠4＝120°，∠DOE＝∠5＋∠4＝120°，∴∠3＝∠5．在△OAG和△OCF中，∴△OAG≌△OCF，∴S_{四边形OFCG}＝S_△AOC＝S_△ABC．证法2：如图3－223(2)所示，不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，作DH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为点H，K．在四边形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝90°，∠C＝60°，∴∠HOK＝360°－90°－90°－60°＝120°，即∠1＋∠2＝120°．又∵∠GOF＝∠2＋∠3＝120°∴∠1＝∠3．∵AC＝BC，∴OH＝OK．又∠OHF＝∠OKG＝90°．∴△OFH≌△OGK，∴S_{四边形OFCG}＝S_{四边形OHCK}＝S_△ABC．