题目内容
定义：如果一个等腰直角三角形的一个顶点为矩形的顶点，另两个顶点分别在矩形的边上，且任何两个顶点都不在矩形的同一边上，我们这样的等腰直角三角形为矩形的“内接优三角形”．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，∠AEF=90°，AE=EF，△AEF为矩形ABCD的内接优三角形．（1）正方形是否存在内接优三角形？
（2）已知△AEF为矩形ABCD的内接优三角形．
①若AD=4，AB=7，求AF的长；
②设AB=a，AD=b（a＞b），问是否存在斜边长为
| 6 |
| a |
| b |
③若△CEF的外接圆与直线AB相切，求此时
| a |
| b |
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）直接根据正方形的性质即可得出结论；
（2）①先根据AAS定理得出△ADE≌△ECF，故可得出CF的长，根据勾股定理即可得出AF的长；
②由①得6b2=a2+（2b-a）2可设
=k，则a=bk，代入上式化简得k2-2k-1=0，求出k的值，再根据a-b＜b可知
＜2，故可得出结论；
③取EF的中点G，作GH⊥AB，延长HG 交CD于点M，由三角形中位线定理得出MG=
CF，故可得出GH的长，再根据△CEF的外接圆与直线AB相切可知EF=2GH，由此可得出结论．
（2）①先根据AAS定理得出△ADE≌△ECF，故可得出CF的长，根据勾股定理即可得出AF的长；
②由①得6b2=a2+（2b-a）2可设
| a |
| b |
| a |
| b |
③取EF的中点G，作GH⊥AB，延长HG 交CD于点M，由三角形中位线定理得出MG=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）不存在．
∵若四边形ABCD是正方形，
∴AD≠CE，
∴不存在；
（2）①∵△AEF为矩形ABCD的内接优三角形
∴∠C=∠D=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠DEA+∠CEF=90°，∠DEA+∠DAE=90°
∴∠CEF=∠DAE
在△ADE与△ECF中，
∵
，
∴△ADE≌△ECF
∴AD=CE=4，
∵AB=CD=7
∴DE=CF=3
∴BF=1
∴AF=
=5
；
②假设存在．
由①得6b2=a2+（2b-a）2
可设
=k，则a=bk，代入上式化简得 k2-2k-1=0，
解得k=1±
，
∵a＞b，
∴k=1+
，
∵a-b＜b，
∴a＜2b，
∴
＜2，所以不存在
③取EF的中点G，作GH⊥AB，延长HG 交CD于点M
易得MG=
CF=
（a-b），
∴GH=b-
（a-b）=
b-
a，
∵△CEF的外接圆与直线AB相切
∴EF=2GH=3b-a，
∴（3b-a）2=b2+（a-b）2
∴
=
．
∵若四边形ABCD是正方形，
∴AD≠CE，
∴不存在；
（2）①∵△AEF为矩形ABCD的内接优三角形
∴∠C=∠D=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠DEA+∠CEF=90°，∠DEA+∠DAE=90°
∴∠CEF=∠DAE
在△ADE与△ECF中，
∵
|
∴△ADE≌△ECF
∴AD=CE=4，
∵AB=CD=7
∴DE=CF=3
∴BF=1
∴AF=
| AB2+BF2 |
| 2 |
②假设存在．
由①得6b2=a2+（2b-a）2
可设
| a |
| b |
解得k=1±
| 2 |
∵a＞b，
∴k=1+
| 2 |
∵a-b＜b，
∴a＜2b，
∴
| a |
| b |
③取EF的中点G，作GH⊥AB，延长HG 交CD于点M
易得MG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴GH=b-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵△CEF的外接圆与直线AB相切
∴EF=2GH=3b-a，
∴（3b-a）2=b2+（a-b）2
∴
| a |
| b |
| 7 |
| 4 |
点评：本题考查的是四边形综合题，熟知正方形及矩形的性质、全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
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