Question

16．如图，点C是线段AB外一点，分别以AC、BC为边，作等边△ACD和等边△BCE，AE、BD相交于点P．
（1）试说明△ACE≌△DCB的理由；
（2）求∠APB的大小．

Answer 1

分析 （1）根据SAS只要证明CD=CA，CB=CE，∠DCB=∠ACE，即可解决问题；
（2）设BD交AC于O．利用“8字型”证明∠APO=∠DCO即可；

解答 （1）证明：∵△ACD，△BCE都是等边三角形，
∴CD=CA，CB=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCB=∠ACE，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB．

（2）解：设BD交AC于O．
∵△ACE≌△DCB，
∴∠PAO=∠ODC，
∵∠DOC=∠AOP，
∴∠APO=∠DCO=60°，
∴∠APB=180°-∠APO=120°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用“8字型”证明角相等．