Question

定理：若x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两实根，则有x₁+x₂=-m，x₁x₂=n．请用这一定理解决问题：已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²+2=0的两实根，且（x₁+1）（x₂+1）=9，求k的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：根据判别式的意义得到△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0，解得k≥

1

2

，再根据根与系数的关系由（x₁+1）（x₂+1）=9得到2（k+1）+k²+2+1=9，然后解此方程求出满足条件的k的值．

解答：解：根据题意得△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0，
解得k≥

1

2

，
∵x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²+2，
而（x₁+1）（x₂+1）=9，即x₁+x₂+x₁•x₂+1=9，
∴2（k+1）+k²+2+1=9，
整理得k²+2k-4=0，解得k₁=

5

-1，k₂=-

5

-1，
而∴k=

5

-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判别式．