Question

16．如图所示，成渝高铁全长308km．计划于2015年10月1日通车运营，成渝两地迈入1小时经济圈．经测量，森林保护区中心M在成都的南偏东80°和重庆的南偏西53°的方向上．已知森林保护区的范围在以M点为圆心，40km为半径的圆形区域内．
（1）请问：成渝高铁会不会穿越保护区？为什么？
（2）求重庆到森林保护区中心BM的距离．（精确到0.1）（tan80°≈5.67，tan53°≈1.33，cos53°≈0.60，sin53°≈0.80）

Answer 1

分析 （1）过M作MD⊥AB于D，直角△AMD与直角△MBD有公共边MD，根据三角函数即可利用MD表示出AD与BD，根据AB=AD+BD即可列出关于MD的方程，从而求得MD的长，与40km比较大小即可判断；
（2）在直角△MBD中，根据三角函数定义得出BM=$\frac{DM}{cos∠BMD}$，代入数值计算即可．

解答 解：（1）过M作MD⊥AB于D，设DM=xkm．
在直角△AMD中，tan∠AMD=$\frac{AD}{DM}$，
则AD=DM•tan∠AMD=x•tan80°≈5.67x，
同理：BD=DM•tan53°≈1.33x，
∵AB=AD+BD，
∴308=5.67x+1.33x，
∴x=44＞40，
故成渝高铁不会穿越保护区；

（2）∵在直角△MBD中，∠BDM=90°，∠BMD=53°，DM=44km，
∴BM=$\frac{DM}{cos∠BMD}$≈$\frac{44}{0.60}$≈73.3（km）．
即重庆到森林保护区中心BM的距离约为73.3km．

点评 本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．