Question

6．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S_△PAB=$\frac{1}{3}$S_矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{29}$
• B． $\sqrt{34}$
• C． 5$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{41}$

Answer 1

分析 首先由S_△PAB=$\frac{1}{3}$S_矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．

解答 解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S_△PAB=$\frac{1}{3}$S_矩形ABCD，
∴$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{3}$AB•AD，
∴h=$\frac{2}{3}$AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
即PA+PB的最小值为$\sqrt{41}$．
故选D．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．