Question

如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－4，0），点N的坐标为（－3，－2）,直角梯形OMNH关于原点O的中心对称图形是直角梯形OABC，（点M的对应点为A，点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；

1.求出过A，B，C三点的抛物线的表达式

2.在直角梯形OABC中，截取BE=AF=OG=m(m＞0)，且E，F，G分别在线段BA，AO，OC上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

3.在（2）的情况下，是否存在BG∥EF的情况，若存在，请求出相应m的值，若不存在，说明理由．

 

Answer 1

 

1.

如图，由题意得：A(0，2)、B(3，2)、C(4，0) ………1分

设过A、B、C的抛物线为y＝ax＋bx＋c，

则 ，  解得    ∴y＝－x＋x＋2 ………3分

2.∵BE＝AF＝OG＝m，AB＝3，OA＝2，OC＝4，∴AE＝3－m，OF＝2－m，CG＝4－m，

∴S＝S―S―S―S

＝×2×7―·m(3－m)―·m(2－m)―×2·(4－m)

＝m－m＋3………5分

＝(m－)＋ (0＜m≤2) ………6分

∵0＜≤2，∴当x＝时，S取得最小值………7分

3.设直线BG为y＝kx＋n，∵B(3，2)，G(m，0)，  ∴，k＝，

设直线EF为y＝kx＋n，∵E(3－m，2)，F(0，2－m)， ∴，k＝，

只有当＝时，有BG∥EF………8分

解＝得m＝2………9分

∴当m＝2时，有BG∥EF (此时F与O重合) ………10分

 解析:略