Question

如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点．

（1）求和的值；

（2）设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上

滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论．

 

Answer 1

【答案】

（1）且（2）不存在，证明见解析

【解析】解：（1）∵在双曲线上，∥轴，∥轴，

∴A，B的坐标分别，．                ……………………(1分)

又点A，B在直线上，∴     ……………………(2分)

   解得或                           …………………(4分)

当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；当

且时，点A，B的坐标分别为,,符合题意．

∴且.………………………………………………………………(5分)

（2）假设存在点使得．

∵ ∥轴，∥轴，∴∥，

∴，∴Rt∽Rt,∴,……………(7分)

设点P坐标为（1＜x＜8＝，则M点坐标为，

∴.又，

∴，即　　　（※）       ……………………(9分)

∵．∴方程（※）无实数根．

所以不存在点使得．                      …………………(10分)

（1）根据题意可设出A、B两点的坐标，把A、B两点的坐标代入直线y=kx+ ，与双曲线y= （m＞0）可得到关于mk的方程组，求出m、k的值即可．

（2）本题考查的是一次函数及反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意设出A、B两点的坐标，是解答此题的关键．