Question

如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，

1

2

）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y=kx+

9

2

与双曲线y=

m

x

（m＞0）的交点．
（1）求m和k的值；
（2）设双曲线y=

m

x

（m＞0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN=

1

2

AB，写出你的探究过程和结论．

Answer 1

分析：（1）由题意易知点A横坐标为1，代入Y=

m

X

，可用含m的代数式表示它的纵坐标；同理可表示点B坐标，再代入方程组

Y=KX+ 9 2 Y= m X

即可求m和k的值；
（2）用反证法证明．假设存在，运用一元二次方程判别式即可解出．

解答：解：（1）∵A，B在双曲线y=

m

x

（m＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，
∴A，B的坐标分别（1，m），（2m，

1

2

）．（1分）
又点A，B在直线y=kx+

9

2

上，
∴

m=k+ 9 2 1 2 =2mk+ 9 2

（2分）
解得

k=-4 m= 1 2

或

k=- 1 2 m=4

（4分）
当k=-4且m=

1

2

时，点A，B的坐标都是（1，

1

2

)，不合题意，应舍去；
当k=-

1

2

且m=4时，点A，B的坐标分别为（1，4），（8，

1

2

)，符合题意．
∴k=-

1

2

且m=4．（5分）

（2）假设存在点P使得MN=

1

2

AB．
∵AC∥y轴，MP∥y轴，
∴AC∥MP，
∴∠PMN=∠CAB，
∴Rt△ACB∽Rt△MPN，
∴

MP

AC

=

MN

AB

=

1

2

，（7分）
设点P坐标为P（x，

4

x

）（1＜x＜8），
∴M点坐标为M（x，-

1

2

x+

9

2

），
∴MP=-

1

2

x+

9

2

-

4

x

．
又∵AC=4-

1

2

=

7

2

，
∴-

1

2

x+

9

2

-

4

x

=

7

4

，即2x²-11x+16=0（※）（9分）
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0．
∴方程（※）无实数根．
∴不存在点P使得MN=

1

2

AB．（10分）

点评：此题难度中等，考查反比例函数的性质及坐标意义．解答此题时同学们要注意运用数形结合的思想．