Question

在直角坐标系xOy中，已知C（-4，-6），D（1，-1），P在抛物线y=-x²-2x+3上，且P在x轴上方，当△CDP面积最大时，P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：首先确定出直线DC解析式，当一条直线与直线DC平行，且与抛物线只有一个交点P时，△PCD面积最大，设出直线解析式，与抛物线解析式联立消去y，得到关于x的一元二次方程，且根的判别式等于0，求出m的值，即可确定出此时P的坐标．

解答：解：设直线DC解析式为y=kx+b，
将D与C坐标代入得：

-4k+b=-6 k+b=-1

，
解得：

k=1 b=-2

，
故直线DC解析式为y=x-2，
设平行于直线DC，且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=x+m，
此时直线与抛物线交于点P，使得△PCD的面积最大，
与二次函数解析式联立消去y得：-x²-2x+3=x+m，
整理得：x²+3x+m-3=0，
则△=9-4（m-3）=0，
解得：m=

21

4

，
故此时直线方程为y=x+

21

4

，
x²+3x+

9

4

=0
（x+

3

2

）²=0，
解得：x₁=x₂=-

3

2

，则y=

15

4

，
则点P坐标为（-

3

2

，

15

4

）．
故答案为：（-

3

2

，

15

4

）．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，两直线平行时斜率满足的关系，解题的关键是：“平行于直线DC，且与抛物线只有一个交点的直线方程与抛物线交点为P，使得△PCD的面积最大”．