题目内容
【题目】已知二次函数y＝ax2＋bx＋6的图像开口向下，与x轴交于点A（－6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是该函数图像上的一个动点（不与点C重合）
（1） 求二次函数的关系式；
（2）如图1当点P是该函数图像上一个动点且在线段
的上方，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图2，该函数图像的顶点为D，在该函数图像上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1） 
;（2）（﹣2，8）或（﹣4，6）；（3） 
或
.
【解析】
（1）由题意设函数的表达式为：
结合已知函数解析式即可求解；
（2）由点P在线段
的上方，设
连接
，从而可得答案；
（3）证明
为直角三角形，延长DC至D′使CD=CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，计算sin∠DAC ，sin2∠DAC=sin∠DAD′得到sin∠EAB，tan∠EAB ，利用一次函数的性质得一次函数是解析式，联立解析式解方程组即可求解．
解：（1）
抛物线与x轴交于点A（－6，0）和点B（2，0），
设函数的表达式为：
二次函数
解得：
函数的表达式为：．
（2）如图1所示，
在的上方，
连接 
设
把
代入，
解得：
所以点P坐标为
或
（3） 抛物线为：，
为顶点，
则
延长DC至D′使CD=CD′，连接AD′，
过点D作DH⊥AD′， 则
即：
解得：
∠EAB＝2∠DAC，
①当点E在AB上方时， 则直线AE的表达式为：
，
将点
坐标代入上式：
直线AE的表达式为：
解得：
或
（舍去）
即点
②当点E在AB下方时，
设直线
为：
将点坐标代入上式：
直线为：
解得：
或 （舍去）
综上，点
或
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