Question

【题目】如图，在中， ，点到两边的距离相等，且．

（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；

（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；

（3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

Answer 1

【答案】(1)作图见解析；ΔABP是等腰直角三角形. 理由见解析；（2）； （3）.

【解析】（1）依题意，点P既在的平分线上，

又在线段AB的垂直平分线上.

如图1，作的平分线，

作线段的垂直平分线， 与的

交点即为所求的P点。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

是等腰直角三角形.

理由：过点P分别作、，垂足为E、F如图2.

∵平分，、，垂足为E、F，

∴.

又∵ ，∴ ≌.┄┄┄┄┄┄┄┄4分

∴ .

∵，，img src="https://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/00/6d4be9c4/SYS201712290014047265331147_DA/SYS201712290014047265331147_DA.023.png" width="88" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

∴， 从而.

又 ∴ 是等腰直角三角形. ┄┄┄┄┄┄┄┄5分

（2）如图2，在中，，

，. ∴.

由≌，≌，

可得，.

∴.

在中，，，，

∴. ∴. ┄┄┄┄6分

所以的周长为：. ┄┄┄┄7分

因为的面积=的面积的面积的面积

==

=（）┄┄9分

或 .

（3）过点分别作、，垂足为、如图3.

∵ .┄┄┄┄10分

由∥得 ①┄┄┄┄┄┄┄┄11分

由∥得 ② ┄┄┄┄┄┄12分

①+②，得 ，即 .

∴ ， 即 ┄┄┄┄13分