Question

（2012•六合区一模）如图，点A₁、B₁、C₁分别是△ABC的三边BC、AC、AB的中点，点A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、A₁C₁、A₁B₁的中点，依此类推，则△A_nB_nC_n与△ABC的面积比为

（

1

4

）ⁿ

．

Answer 1

分析：由于A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为

1

2

，就可求出S△A₁B₁C₁=

1

4

，同样地方法得出S△A₂B₂C₂=

1

16

…依此类推所以就可以求出S_△AnBnCn的值．

解答：解：∵A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位线，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为

1

2

，
∴S_△A1B1C1：S_△ABC=1：4，且S_△ABC=1
∴S_△A1B1C1=

1

4

，
∵A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，
∴△A₁B₁C₁的∽△A₂B₂C₂且相似比为

1

2

，
∴S_△A2B2C2=

1

16

，
依此类推
∴S_△A3B3C3=

1

64

，
∴S_△AnBnCn=

1

22n

=（

1

4

）ⁿ．
故答案为：（

1

4

）ⁿ．

点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方得到一般性规律．