Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（　　）

A. △ADC∽△CFBB. AD＝DF

C. D. ＝

Answer 1

【答案】C

【解析】

依据∠ADC＝∠CFB＝90°，∠CAD＝∠BCF，即可得到△ADC∽△CFB；过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，得出DM垂直平分AF，即可得到DF＝DA；设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，由△ADC∽△CFB，可得＝，可得b＝a，依据即可得出,根据E是CD边的中点，可得CE：AB＝1：2，再根据△CEF∽△ABF，即可得到＝（）2＝．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCF，

∵BE⊥AC，

∴∠CFB＝90°，

∴∠ADC＝∠CFB，

∴△ADC∽△CFB，故A选项正确；

如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝DC，

∴BM＝AM，

∴AN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥AF，

∴DM垂直平分AF，

∴DF＝DA，故B选项正确；

设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，

由△ADC∽△ECB，可得＝，

即b＝a，

∴

∴,故C选项错误；

∵E是CD边的中点，

∴CE：AB＝1：2，

又∵CE∥AB，

∴△CEF∽△ABF，

∴＝（）2＝．

故选D选项正确；

故选：C．