Question

如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=

k

x

．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．
（1）当点O′与点A重合时，求点P的坐标．
（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是多少？

Answer 1

分析：（1）当点O?与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用轴对称的现在解答即可；
（2）求出∠MP′O=30°，得到OM=

1

2

t，OO′=t，过O′作O′N⊥X轴于N，∠OO′N=30°，求出O′的坐标，根据对称性点P在直线O′B′上，然后利用待定系数法求出直线O′B′的函数解析式，再求出反比例函数的解析式y=

4 3

x

，代入上式整理得出方程关于x的一元二次方程，求出方程的判别式b²-4ac≥0，求出不等式的解集即可．

解答：解：（1）当点O?与点A重合时，
∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O?B?．
AP′=OP′，
∴△AOP′是等边三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴点P的坐标是（4，0），

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，
∴∠MP′O=30°，
∴OM=

1

2

t，OO′=t，
过O′作O′N⊥X轴于N，
∠OO′N=30°，
∴ON=

1

2

t，NO′=

3

2

t，
∴O′（

1

2

t，

3

2

t），
根据对称性可知点P在直线O′B′上，
设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得

1 2 tk+b= 3 t 2 tk+b=0

，
解得：

k=- 3 b= 3 t

，
∴y=-

3

x+

3

t①，
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2

3

，
∴A（2，2

3

）），代入反比例函数的解析式得：k=4

3

，
∴y=

4 3

x

②，
①②联立得，

3

x²-

3

tx+4

3

=0，
即x²-tx+4=0③，
b²-4ac=t²-4×1×4≥0，
解得：t≥4，t≤-4．
又O′B′=2，根据对称性得B′点横坐标是1+

1

2

t，
当点B′为直线与双曲线的交点时，
由③得，（x-

1

2

t）²-

t 2

4

+4=0，
代入，得（1+

1

2

t-

1

2

t）²-

t 2

4

+4=0，
解得t=±2

5

，
而当线段O′B′与双曲线有交点时，
t≤2

5

或t≥-2

5

，
综上所述，t的取值范围是4≤t≤2

5

或-2

5

≤t≤-4．

点评：本题主要考查了对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．