Question

（2012•潮阳区模拟）如图，将一块直角三角板ABC和半圆形量角器按图中方式叠放，其中∠A=30°，半圆O的直径MN与直线AC重叠，且切AB于点E，交BC于点F，若测得OM=6cm，∠AOF=120°，求图中阴影部分的面积．（结果可保留π）

Answer 1

分析：连接OE，根据切线性质求出∠AEO=90°，求出OA，在Rt△OCF中，通过解直角三角形求出OC，CF，求出AC，CB，分别求出△ACB的面积，扇形MOF面积，△OFC面积，即可求出阴影部分的面积．

解答：解：连接OE，
∵半圆O切AB于E，
∴OE⊥AB，OE=OM=OF=6cm，
在Rt△AOE中，∵∠A=30°，
∴OA=2OE=12cm，
在Rt△OCF中，∠COF=180°-∠AOF=60°，
∴OC=OFcos∠COF=6cos60°=3（cm），
CF=OFsin∠COF=6sin60°=3

3

（cm），
∴AC=OA+OC=12cm+3cm=15cm，
在Rt△ACB中，BC=ACtanA=15tan30°=5

3

（cm），
∴阴影部分的面积是S=S_△ABC-S_△OCF-S_扇形MOF=

1

2

×15×5

3

-

1

2

×3×3

3

-

120π×62

360

=（33

3

-12π）cm²．

点评：本题考查了切线性质，解直角三角形，三角形的面积，扇形的面积等知识点的综合运用．