Question

13．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交$\widehat{AC}$于点D，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OA=AE=2时，
①求图中阴影部分的面积；
②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分．

Answer 1

分析 （1）连结OC由OA=OC，F为AC的中点，推出OD⊥AC，又DE∥AC，推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）①根据S_阴=S_扇形OCD，计算即可；
②由已知得：$A（-2，0），C（1，\sqrt{3}）$推出直线AC的表达式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，由①得AC平分∠OAD，推出PM=PN，设$P（x，\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）（-2≤x≤1）$，$PM=PN=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，因为直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分，分两种情形，讨论即可解决问题．

解答 解：（1）证明：连结OC
∵OA=OC，F为AC的中点，
∴OD⊥AC，
又∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）①由（1）得OD⊥DE，
∴∠EDO=90°，
∴OA=AE=2，
∴$AD=\frac{1}{2}OE=2$，
∴OA=OD=AD=2．
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=∠DAO=60°，
∴$∠ACD=\frac{1}{2}∠AOD=30°$，
又∵AC⊥OD，
∴∠CAO=∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠CAO，
∴CD∥AB，
∴S_△ACD=S_△OCD，
∴S_阴=S_扇形OCD，
∵∠CAD=∠OAD-∠OAC=60°-30°=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∴${S_阴}=\frac{{60π×{2^2}}}{360}=\frac{2}{3}π$，

②由已知得：$A（-2，0），C（1，\sqrt{3}）$，
∴直线AC的表达式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，
由①得AC平分∠OAD，
∴PM=PN，
设$P（x，\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）（-2≤x≤1）$，$PM=PN=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∵直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分，
若${S_{△APD}}=\frac{1}{3}{S_阴}$．即$\frac{1}{2}×2•（\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}π$，
解得：$x=\frac{{2\sqrt{3}π-18}}{9}$，此时$P（\frac{{2\sqrt{3}π-18}}{9}，\frac{2π}{9}）$，
若${S_{△APD}}=\frac{2}{3}{S_阴}$，同理可求得$P（\frac{{4\sqrt{3}π-18}}{9}，\frac{4π}{9}）$，
综上所述：满足条件的点P的坐标为$P（\frac{{2\sqrt{3}π-18}}{9}，\frac{2π}{9}）$和$P（\frac{{4\sqrt{3}π-18}}{9}，\frac{4π}{9}）$．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、切线的判定和性质、平行线的性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．