Question

已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²-

3

4

=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在这样的实数k，使x₁²+x₂²=

1

2

？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）²-4×（k²-

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4

）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²-

3

4

，利用x₁²+x₂²=

1

2

得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

1

2

，所以（2k+1）²-2（k²-

3

4

）=

1

2

，然后解出k的值后利用（1）中的条件进行判断．

解答：解：（1）根据题意得△=（2k+1）²-4×（k²-

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）＞0，
解得k＞-1；

（2）不存在．理由如下：
x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²-

3

4

，
∵x₁²+x₂²=

1

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

1

2

，
∴（2k+1）²-2（k²-

3

4

）=

1

2

，
∴k=-1，
∵k＞-1，
∴不存在这样的实数k，使x₁²+x₂²=

1

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．