Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；则点C₁的坐标为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质

专题：

分析：根据点A、D的坐标求出OA、OD，利用勾股定理列式求出AD，再求出∠BAA₁=∠ADO，然后利用∠BAA₁的正切值求出A₁B，再求出A₁C，然后根据正方形的四条边都相等求出DC₁，过点C₁作C₁E⊥y轴于E，然后利用∠C₁DE的正弦和余弦求出C₁E、DE，再求出OE，写出点C₁的坐标即可．

解答：解：∵A（1，0），D（0，2），
∴OA=1，OD=2，
由勾股定理得，AD=

OA2+OD2

=

12+22

=

5

，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAO+∠BAA₁=90°，
∵OD⊥OA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠BAA₁=∠ADO，
∴A₁B=AB•tan∠BAA₁=

5

×

1

2

=

5

2

，
∴A₁C=

5

+

5

2

=

3 5

2

，
∴DC₁=

5

+

3 5

2

=

5 5

2

，
过点C₁作C₁E⊥y轴于E，
同理可求∠C₁DE=∠DAO，
∴C₁E=DC₁•sin∠C₁DE=

5 5

2

×

2

5

=5，
DE=DC₁•cos∠C₁DE=

5 5

2

×

1

5

=

5

2

，
∴OE=OD+DE=2+

5

2

=

9

2

，
∴点C₁的坐标为（5，

9

2

）．
故答案为：（5，

9

2

）．

点评：本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，锐角三角函数，求出两个正方形的边长并作辅助线构造成直角三角形是解题的关键．