题目内容
【题目】如图，点A为平面直角坐标系第一象限内一点，直线y=x过点A，过点A作AD⊥y轴于点D，点B是y轴正半轴上一动点,连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C.
(1)如图，当点B在线段OD上时，求证：AB=AC；
(2)①如图，当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上， OA、OB、OC之间的数量关系为________(不用说明理由)；
②当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，写出OA、OB、OC之间的数量关系，并说明原因.
(3)直线BC分别与直线AD、直线y=x交于点E、F，若BE=5，CF=12，直接写出AB的长.
【答案】（１）证明见解析；(2)①OA=
（OC+OB）；②OA=（OB-OC）；(3)10
； 15．
【解析】
（1）过点A作AE⊥OC于点E,先证明四边形ADOE是正方形，再证明Rt△ADB≌Rt△AEC（AAS），从而求得结论；(2)①过点A作AE⊥OC于点E,方法同（1）证明四边形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，△AOD是等腰直角三角形，再应用勾股定理即可得结论OA=（OC+OB）；②方法同①得结论：OA=（OB-OC）；（3）①当点B在线段OD上时，将△AFC绕点A顺时针旋转90°，AC与AB重合，变为△ABF′，连接EF′，证明∠EBF′=90°,由勾股定理得EF′=13，再证明△AEF≌△AEF′，所以EF= EF′=13，BF=EF-EB=13-5=8，BC=BF+FC=8+12=20，而△ABC是等腰直角三角形，所以AB=
=10; ②当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上时，方法同①，解得：AB=15;③当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上时，方法同上,解得:AB=3 .
（1）过点A作AE⊥OC于点E,
∵AD⊥y，点A在y=x上，∠DOE=90°
∴四边形ADOE是矩形，AE=OE，
∴矩形ADOE是正方形，
∴AD=AE,∠DAE=∠BAC=90°,
∴∠DAB=∠EAC，
又∵∠BDA=∠CEA=90°
∴Rt△ADB≌Rt△AEC
∴AB=AC.
(2)① 过点A作AE⊥OC于点E,
方法同（1）得，四边形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，AB=AC，BD=CE，
∴OC+OB=OC+OD+BD=OC+OD+CE=OE+OD=2OD，即OD=
（OC+OB）
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：OA=OD =×（OC+OB）=（OC+OB），
即OA=（OC+OB），
②过点A作AE⊥OC于点E,
方法同（1）得，四边形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，AB=AC，BD=CE，
∴OB-OD=OC+OE，即OB-OC=OD+OE=2OD=OA，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：OA=OD，OD= OA ，
∴OB-OC= OD+OE=2OD=OA，即OB-OC=OA，OA=（OB-OC）
（3）①当点B在线段OD上时，
将△AFC绕点A顺时针旋转90°，AC与AB重合，变为△ABF′，连接EF′，BF′=CF=12，∠ACB=∠ABC=∠ABF′=45°，∠CBF′=∠ABC+∠ABF′=90°，所以∠EBF′=90°,
又∵BE=5，∴EF′=13，
∵∠F′AO=90°， ∠FAE=∠F′AE=45°，AE=AE，AF=AF′，
∴△AEF≌△AEF′
∴EF= EF′=13，BF=EF-EB=13-5=8，BC=BF+FC=8+12=20，
由（1）得：△ABC是等腰直角三角形，∴AB==10;
②当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上时，
方法同①，旋转△AFC到△AF′B，证出∠EBF′，EF′=13=EF，BC=BE+EF+FC=5+13+12=30，所以等腰直角三角形ABC的直角边AB=15;
③当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，
已证△ABC是等腰直角三角形，
过点B作BF′⊥BC于点B，截取 BF′=CF=12， 连接F′E、F′A，∵BE=5，
∴∠ABF′=∠ACF=135°,EF′=13
AB=AC，
∴△ABF′≌△ACF，可得AF′=AF，∠BAF′=∠CAF，
∴∠BAC=∠F′AF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=45°=∠EAF′，又AE=AE
∴△EAF≌△EAF′，
∴EF=EF′=13，EC=EF-CF=13-12=1，BC=BE+EC=1+5=6，
∴在等腰直角三角形ABC中，直角边AB=3.
