题目内容

△ABC中，∠C=30°，BM是中线，AC=2a．若沿BM将三角形ABC折叠，那么两个小三角形ABM和BCM重叠部分的面积恰好等于△ABC面积的 $数学公式$ ，试求△ABC的面积（用含a的式子表示）

解：（1）当∠ABM＞∠CBM时，
如图，BM为中线，
∴S_△BCM= $\text{[math]}$ S_△ABC，又S_△MDB= $\text{[math]}$ S_△ABC，
∴S_△MDB= $\text{[math]}$ S_△BCM，可知D为BC边的中点，
∵S_△CDM=S_△A′BD，
∴四边形CMBA′是平行四边形，
∴MD= $\text{[math]}$ MA′= $\text{[math]}$ MC，
又∠C=30°，∴∠MDC=90°．
S_△ABC=4S_△CDM=4× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a²；

（2）当∠ABM=∠CBM时，不符合题意；

（3）当∠ABM＜∠CBM时，同理可得S_△ABC= $\text{[math]}$ a²．
分析：由题意，S_△MDB= $\text{[math]}$ S_△ABC，可以推论出：（1）D是BC中点；（2）四边形CMBA′是平行四边形，故MD= $\text{[math]}$ MA′= $\text{[math]}$ MC，又∠C=30°，所以∠MDC=90°．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．