Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B的坐标分别是（0，4）、（4，0）．
（1）若P为AB的中点，求P点的坐标；
（2）若P为线段AB上异于A、B的任意一点，CP⊥OP，下列结论：
①CP+OP为定值；
②CP：OP为定值．
其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由P为AB中点，根据A与B的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标即可；
（2）正确结论为：②CP：OP为定值，这个定值为1，理由为：作PK⊥OB，垂足为K；PN⊥OA，垂足为N，NP的延长线交直线l于M，易证：四边形MNOB，MPKB，PNOK都是矩形，利用两对角相等的三角形相似，得到三角形NPO与三角形CMP相似，由相似得比例列出关系式，根据三角形AOB为等腰直角三角形得到三角形PKB为等腰直角三角形，得到PK=KB，代入比例式变形即可得到结果．

解答：解：（1）若P为AB的中点，则有P（2，2）；
（2）正确结论为：②CP：OP为定值，这个定值为1，理由如下：
作PK⊥OB，垂足为K；PN⊥OA，垂足为N，NP的延长线交直线l于M，
易证：四边形MNOB，MPKB，PNOK都是矩形，
∵OP⊥PC，
∴∠OPC=90°，
∴∠NPO+∠MPC=90°，
∵∠NPO+∠NOP=90°，
∴∠NOP=∠MPC，
∵∠ONP=∠PMC=90°，
∴△NPO∽△CMP，
∴CP：PO=PM：ON，
∵PK=ON，PM=KB，OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，即∠OBA=45°，
∵∠PKB=90°，
∴△PKB为等腰直角三角形，即∠KPB=45°=∠KBP，
∴PK=KB，
∴CP：PO=PK：KB=1，
∴CP：PO=1．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．