Question

如图1，在△ABC中，已知AB=15，cosB=，tanC=．点D为边BC上的动点（点D不与B、C重合），以D为圆心，BD为半径的⊙D交边AB于点E．
（1）设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）如图2，点F为边AC上的动点，且满足BD=CF，联结DF．
①当△ABC和△FDC相似时，求⊙D的半径；
②当⊙D与以点F为圆心，FC为半径⊙F外切时，求⊙D的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据AE=AB-BE进而得出y与x的函数关系即可；
（2）①过点A作AH⊥BC，垂足为H，利用△ABC和△FDC相似求出⊙D的半径即可；
②过点F作FM⊥BC，首先利用勾股定理计算出FD的长，再利用外切的性质得出DF，进而求出⊙D的半径．
解答：解：（1）过点D作DG⊥BE，垂足为E．
∵DG过圆心，
∴BE=2BG，
在Rt△DGB中，cosB=，
∵BD=x，
∴BG=，
∴BE=，
∵AB=15，
∴y=15-，定义域为：0＜x≤；

（2）①过点A作AH⊥BC，垂足为H
在Rt△ADH中，cosB=
∵AB=15，
∴BH=9，
∴AH=12，
在Rt△AHC中，tanC=
∴HC=5，
∴BC=14，
设BD=x，则CF=，DC=14-x，
∵∠C=∠C，
∴当△ABC和△FDC相似时，有
（ⅰ），
即，
解得：x=，
∴BD=，
（ⅱ），
即，
解得：x=，
∴BD=，
∴当△ABC和△FDC相似时，⊙D的半径为或，
②过点F作FM⊥BC，垂足为M
在Rt△FMC中，tanC=，
∴sinC=，
∵CF=，
∴FM=，MC=，
∴DM=14-x-=14-，
∴DF=，
∵⊙D与⊙F外切，
∴DF=，
∴=，
解得：x₁=，x₂=（舍去）
即BD=，
∴当⊙D与⊙F外切时，⊙D的半径为．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和相切两圆的性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用已知进行分类讨论得出是解题关键．