Question

（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞

BC2+CD2

；
（2）已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断（AC+BC）²与AB²+4CD²之间的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）连接BD，利用三角形三边关系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代换即可证明．
（2）如图，作EB⊥AB，EB=2CD，利用（1）的结论即可证明．

解答：解：（1）连接BD，
∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵AB+AD＞BD，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴BD=

BC2+CD2

，
∴AB+AC＞

BC2+CD2

；

（2）大小关系是（AC+BC）²＜AB²+4CD²，理由为：
如图，作EB⊥AB，EB=2CD，
∵AB+AC＞

BC2+CD2

（1）的结论；
两边平方得（AC+AB）²＞BC²+CD²，
∴（AC+BC）²＜AB²+4CD²．

点评：此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点，难易程度适中，是一道典型的题目．