Question

已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
（2）当∠BAC=90°时，求证：

PE

CE

=

1

2

；
（3）如图2，当PC是圆O的切线，E为AD中点，BC=8，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；
（2）连接PD、PO，根据直径上的圆周角是直角可得PD∥AC，所以得△PBD是等腰三角形，则OD=

1

2

BD，又由已知得OD=

1

2

BD=

1

2

DC，由平行线分线段成比例得

PE

CE

=

1

2

；
（3）连接OP，根据三角函数可求得PC，CD的长，再在RT△ADE中利用三角函数求得DE的长，进而得出AD的长．

解答：（1）证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是圆O直径，
∴AD是圆O的切线．

（2）证明：连接PD、PO，
∴PD∥AC，
已知△ABC中，AB=AC，∴BD=DC，
∴PB=PD，
∴OD=OB=

1

2

BD=

1

2

DC，
∴PE=

1

2

CE，
∴

PE

CE

=

1

2

；

（3）解：连接OP，
由BC=8，得CD=4，OC=6，OP=2，
∵PC是圆O的切线，O为圆心，
∴∠OPC=90°．∴由勾股定理，得PC=4

2

，
在△OPC中，tan∠OCP=

OP

CP

=

2

4

，
在△DEC中，tan∠DCE=

DE

DC

=

2

4

，DE=DC•

2

4

=

2

．
∵E为AD中点，
∴AD=2

2

．

点评：此题考查学生对切线的判定及综合解直角三角形的能力．