Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）求证：△BED∽△BCA；
（3）若AE=7，BC=6，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，利用AB=AC，OD=OC，证得OD∥AD，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠BED=∠C，然后根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（3）证得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．

解答 （1）证明：如图，连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；

（2）证明：∵∠BED=∠C，∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA；

（3）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
又∵AE=7，
∴$\frac{3}{7+BE}=\frac{BE}{6}$，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．

点评 此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．