Question

6．如图（1），路灯灯柱AB，CD之间有一棵大树MN，点B、N、D在一条水平线上，大树在灯泡A的照射下影子恰好到点D，在灯泡C的照射下影子恰好到点B．
（1）若AB=12米，CD=8米，BD=14米，求大树MN的高度．
（2）若AB=12米，CD=8米，不知道BD的长，树高能否求得？若能求得，树高是多少？若不能求得，请说明理由．
（3）若AB=a米，CD=b米，求大树MN的高度．
（4）若点B、N、D在一条斜线上，如图（2），能否用（3）得到的结果求大树MN的高度？

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的判定方法，可判断△DMN∽△DAB，则$\frac{MN}{AB}$=$\frac{DN}{DB}$①，再判断△BMN∽△BCD得到$\frac{MN}{CD}$=$\frac{BN}{BD}$②，然后把两式相加易MN=$\frac{AB•CD}{AB+CD}$，最后把AB和CD的值代入计算即可；
（2）由（1）得MN=$\frac{AB•CD}{AB+CD}$，于是可判断MN的长只与AB和CD有关，MN=$\frac{24}{5}$；
（3）由（1）得MN=$\frac{ab}{a+b}$（m）；
（4）能用（3）得到的结果求大树MN的高度．

解答 解：（1）∵MN∥AB，
∴△DMN∽△DAB，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{DN}{DB}$①，
∵MN∥CD，
∴△BMN∽△BCD，
∴$\frac{MN}{CD}$=$\frac{BN}{BD}$②，
①+②得$\frac{MN}{AB}$+$\frac{MN}{CD}$=$\frac{DN+BN}{BD}$=1，
∴MN=$\frac{AB•CD}{AB+CD}$=$\frac{12×8}{12+8}$=$\frac{24}{5}$（m）；
（2）能．
由（1）得MN=$\frac{AB•CD}{AB+CD}$，
∴MN的长只与AB和CD有关，MN=$\frac{24}{5}$；
（3）由（1）得MN=$\frac{AB•CD}{AB+CD}$=$\frac{ab}{a+b}$（m）；
（4）能用（3）得到的结果求大树MN的高度．

点评 本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，然后利用对应边成比例求相应线段的长．