Question

18．已知：如图，∠BAC=30°，G为∠BAC平分线上一点，EG∥AC，EG交AB于点E；GD⊥AC，垂足为点D．求证：GD=$\frac{1}{2}$EG．

Answer 1

分析 作辅助线GF⊥AB，根据角平分线的性质可知GF=GD，由EG∥AC可知∠2=∠EGA，从而推出∠3与∠BAC的关系，从而得出GE与GF的关系，进而得到GE与GD的关系．

解答 证明：如下图所示：作GF⊥AB于点F，

∵AG为∠BAC平分线，GF⊥AB，GD⊥AC，
∴∠1=∠2，GF=GD．
∵EG∥AC，
∴∠2=∠EGA．
∴∠1+∠EGA=∠1+∠2=∠BAC．
∵∠BAC=30°，∠3=∠1+∠EGA，
∴∠3=30°．
∵GF⊥AB，
∴GE=2GF．
又∵GF=GD，
∴GE=2GD．
即$GD=\frac{1}{2}GE$．

点评 本题考查角平分线的性质角、平行线的性质和在直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系，关键是正确分析题目，灵活变化最终求得结论成立．