Question

4．如图，正方形ABCD，点P为对角线AC上一个动点，Q为CD边上一点，且∠BPQ=90°．
（1）求证：PB=PQ；
（2）若BC+CQ=8，求四边形BCQP的面积；
（3）设AP=x，ABCD的面积为y，且CQ=2，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．只要证明△PEB≌△PFQ即可解决问题；
（2）只要证明S_{四边形BCQP}=S_{四边形CEPF}即可解决问题；
（3）如图2，过P做EF∥AD分别交AB和CD于E、F．易知AE=PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由△BPE≌△PQF，推出EP=AE=QF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由BE=CF=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，推出AB=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=2+$\sqrt{2}$x，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠ACB，∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，
∴PE=PF，
∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF是矩形，∵PE=PF，
∴四边形PECF是正方形，
∴∠EPF=∠BPQ=90°，
∴∠BPE=∠QPF，∵∠PEB=∠PFQ=90°，
∴△PEB≌△PFQ，
∴PB=PQ．

（2）解：如图1中，由（1）可知△BPE≌△PQF，四边形PECF是正方形，
∴BE=FQ，CE=CF，S_△BPE=S_△PQF，
∵BC+CQ=8，
∴EC+FC=BC+CQ=8，
∴CE=CF=4，
又∵S_△BPE=S_△PQF，
∴S_{四边形BCQP}=S_{四边形CEPF}=16．

（3）解：如图2，过P做EF∥AD分别交AB和CD于E、F．
∵AP=x，
∴AE=PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵△BPE≌△PQF，
∴EP=AE=QF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵BE=CF=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴AB=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=2+$\sqrt{2}$x，
∴y=（2+$\sqrt{2}$x）²=2x²+4$\sqrt{2}$x+4．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．