Question

如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．

（1）求证：∠1=∠2．

（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

（1）证明：连结OD，如图，

∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∴∠2+∠C=90°，

而OC⊥OB，

∴∠C+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠2；

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，

∴OF=1，

∵∠1=∠2，

∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，

∵OD²+DE²=OE²，

∴3²+t²=（t+1）²，解得t=4，

∴DE=4，OE=5，

∵AG为⊙O的切线，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴=，即=，

∴AG=6．