Question

12．⊙O的半径为1，弦AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{2}$，求∠ABC．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分两种情况：当AB，BC在圆心O的异侧时，作OD⊥AB于点D，作OE⊥BC于点E，连接OA，OB，OC，根据垂径定理可得出BD及BE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠OBD与∠OBE的度数，根据∠ABC=∠OBD+∠OBE可得出结论；当AB，BC在圆心O的异侧时，同理求出∠OBD与∠OBE的度数，根据∠ABC=∠OBE-OBD可得出结论．

解答 解：如图1，作OD⊥AB于点D，作OE⊥BC于点E，连接OB，
∵弦AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠OBD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos∠OBE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OBD=30°，∠OBC=45°，
∴∠ABC=∠OBD+∠OBE=30°+45°=75°；
如图2，作OD⊥AB于点D，作OE⊥BC于点E，连接OB，
∵同理可得，∠OBD=30°，∠OBC=45°，
∴∠ABC=∠OBE-OBD=45°-30°=15°．
综上所述，∠ABC的度数是75°或15°．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．