Question

)阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA.（此结论不必证明，可直接应用）

图1             图2              图3               图4

    (1)理解与应用

如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则 PE+PF的值为_____________．

    (2)类此与推理

如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE

∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，则PE+PF的值为______________．

    (3)拓展与延伸

如图4，⊙○的半径为4，A，B，C，D是⊙○上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD交BD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

   

Answer 1

 (1)…………2分

 (2)……………… 4分

 (3)当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值，…………5分

理由:连接OA、OB、OC、OD,如图4．…………6分

∵DG与⊙○相切，

∴∠GDA=∠ABD.  

∵∠ADG=300，

∴∠ABD=30°

∴∠AOD=2∠ABD=60°.   

∵OA= OD,

∴△AOD是等边三角形．………………………7分

∴AD=OA=4．

同理可得：BC=4．

∵PE∥BC,PF∥ AD，

∴△AEP∽△ACB,△BFP∽△BDA.………………8分

∴,.

∴.………………9分

∴.

∴PE+PF=1，

∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．……………10分