Question

5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作射线CM且满足∠ACM=∠ABC．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并证明；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质利用∠ACM=∠ABC求出答案；
（2）首先得出△AEC的外接圆的直径是AC，进而结合相似三角形的性质得出AC的长，进而得出答案．

解答 （1）证明：如图，连接OC
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵∠ACM=∠ABC，∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA+∠ACM=90°，
∴CM是⊙O的切线；

（2）解：∵BC=CD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圆的直径是AC，
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BC}{ED}$，
⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∴$\frac{6}{CD}$=$\frac{BC}{2}$，
∴BC²=12，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{36-12}$=2$\sqrt{6}$，
∴△AEC的外接圆的半径为$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．