Question

如果记f(x)=

x2

1+x2

，即x=1时，f(1)=

12

1+12

=

1

2

；x=

1

2

时，f(

1

2

)=

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

1

5

，那么f(1)+f(2)+f(

1

2

)+f(3)+f(

1

3

)+…+f(n)+f(

1

n

)=

n-

1

2

（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析：把x换为

1

x

，化简可表示出f（

1

x

），发现f（x）与f（

1

x

）的和为定值1，故把所求的式子除去第一项f（1），然后由x的值互为倒数的两项结合，利用得出的规律和为1化简，得到n-1个1相加，把f（1）的值代入即可表示出所求式子的结果．

解答：解：∵f（x）=

x2

1+x2

，f（

1

x

）=

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

1

1+x2

，
∴f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1，又f（1）=

1

2

，
则f（1）+f（2）+f（

1

2

）+f（3）+f（

1

3

）+…+f（n）+f（

1

n

）
=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+[f（3）+f（

1

3

）]+…+[f（n）+f（

1

n

）]
=

1

2

+1+1+…+1（n-1个1相加）
=

1

2

+n-1
=n-

1

2

．
故答案为：n-

1

2

点评：此题考查了分式的化简求值，分式的化简求值加减运算的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意要先化简，再代值．找出规律f（x）+f（

1

x

）=1是解本题的关键．