Question

（2013•雨花台区一模）如果记y=

1

x+x2

=f(x)，并且f（1）表示当x=1时y的值，即f(1)=

1

1+12

=

1

2

；f（2）表示当x=2时y的值，即f(2)=

1

2+22

=

1

6

，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=

2013

2014

．

Answer 1

分析：根据题意得：f（1）=

1

1×2

，f（2）=

1

2×3

，f（3）=

1

3×4

，…，f（n）=

1

n(n+1)

，拆项后合并即可得到结果．

解答：解：∵f（1）=

1

1×2

=1-

1

2

，f（2）=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，f（3）=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，f（2013）=

1

2013×2014

=

1

2013

-

1

2014

，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

，
故答案为：

2013

2014

点评：此题考查了分式的加减法，弄清题中的规律、熟练掌握拆项法是解本题的关键．