Question

13．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．

（1）求证：AD=AF；
（2）求证：BD=EF；
（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，证出BF=CD，由SAS证明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；
（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，证出∠EAF=∠BAD，由SAS证明△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可；
（3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°，证出四边形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四边形ABNE是正方形．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABF=135°，
∵∠BCD=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，
在△ABF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACD}\\{BF=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AD=AF；
（2）证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，
∴∠FAB=∠DAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠BAD，
在△AEF和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}&{\;}\\{∠EAF=∠BAD}&{\;}\\{AF=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ABD（SAS），
∴BD=EF；
（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：
∵CD=CB，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，
∴∠AEF=∠ABD=90°，
∴四边形ABNE是矩形，
又∵AE=AB，
∴四边形ABNE是正方形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定、矩形的判定；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．