Question

阅读下列材料：

问题：如图1，在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线

EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.

求证：EG =AG+BG.

小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理使

问题得到解决.

参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）完成上面问题中的证明；

（2）如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.

图1                               图2

Answer 1

解：（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.

∴∠GAB=∠HAE. ………………………………………………………1分

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

∴∠ABG=∠AEH. …………………………………………………………2分

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH.  …………3分

∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=60°，

∴△AGH是等边三角形.

∴AG=HG.

∴EG=AG+BG. ……………………………………………………………4分

（2）线段EG、AG、BG之间的数量关系是…………5分

             理由如下：

如图，作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H.

     ∴∠GAB=∠HAE.

   ∵∠EGB=∠EAB=90°，

   ∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°.

             ∴∠ABG=∠AEH.

∵又AB=AE，

 ∴△ABG≌△AEH. ………………6分

   ∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=90°，

∴△AGH是等腰直角三角形.

∴AG=HG.

∴…………………………………………………………7分